⚡ पावर इलेक्ट्रिशियन – AC सर्किट (Power Electrician – AC Circuits)
📘 एक्सरसाइज 1.5.46 के लिए संबंधित थ्योरी (Related Theory for Exercise 1.5.46)
📍 सीरीज़ रेजोनेंस सर्किट (Series Resonance Circuit)
🎯 उद्देश्य (Objectives):
इस लेसन के अंत में आप निम्नलिखित चीज़ें सीखने में सक्षम होंगे:
- सीरीज़ रेजोनेंस सर्किट के इम्पीडेंस (Impedance) की व्याख्या करना।
- सीरीज़ रेजोनेंस की कंडीशन (Condition) और इसके एक्सप्रेशन (Expression) को बताना।
- रेजोनेंस फ्रीक्वेंसी (Resonance Frequency) और इसके फॉर्मूले को बताना।
⚙️ सीरीज़ रेजोनेंस सर्किट का इम्पीडेंस (Impedance of Series Resonance Circuit)
Fig 1 में एक साधारण सीरीज़ LC सर्किट (Series LC circuit) दिखाया गया है। इस सीरीज़ LC सर्किट में:
- R: सीरीज़ सर्किट का कुल रेजिस्टेंस (Internal Resistance) है, जिसे ओहम (Ohms) में मापा जाता है।
- $X_L$: ओहम में इंडक्टिव रिएक्टेंस (Inductive Reactance) है।
- $X_C$: ओहम में कुल कैपेसिटिव रिएक्टेंस (Capacitive Reactance) है।
Fig 1a के सर्किट में, चूंकि कैपेसिटिव रिएक्टेंस ($90\Omega$) इंडक्टिव रिएक्टेंस ($60\Omega$) से बड़ा है, इसलिए सर्किट का नेट रिएक्टेंस (Net Reactance) कैपेसिटिव होगा। इसे Fig 1b में दिखाया गया है। 📉
💡 नोट (Note): यदि कैपेसिटिव रिएक्टेंस, इंडक्टिव रिएक्टेंस से छोटा होता, तो सर्किट का नेट रिएक्टेंस इंडक्टिव (Inductive) होता।
यद्यपि रिएक्टेंस और रेजिस्टेंस दोनों की मापने की यूनिट ओहम ($\Omega$) ही है, लेकिन सर्किट का इम्पीडेंस (Z) केवल $R, X_L$ और $X_C$ को सीधे जोड़कर प्राप्त नहीं किया जा सकता। ऐसा इसलिए है क्योंकि $X_L$, रेजिस्टेंस $R$ के साथ $+90^\circ$ आउट ऑफ फेज होता है और $X_C$, रेजिस्टेंस $R$ के साथ $-90^\circ$ आउट ऑफ फेज होता है। 🔄
इसलिए, सर्किट का इम्पीडेंस (Z), रेजिस्टिव (Resistive) और रिएक्टिव (Reactive) कंपोनेंट्स का फेजर एडिशन (Phasor Addition) होता है, जैसा कि Fig 1c में बिंदूदार लाइनों (dotted lines) द्वारा दिखाया गया है।
इसलिए, सर्किट का इम्पीडेंस (Z) इस प्रकार दिया जाता है: $$Z = \sqrt{R^2 + (X_C – X_L)^2}$$
यदि $X_L$, $X_C$ से बड़ा होता, तो इम्पीडेंस (Z) की एब्सोल्यूट वैल्यू (Absolute Value) यह होती: $$Z = \sqrt{R^2 + (X_L – X_C)^2}$$
🔢 सर्किट कैलकुलेशन (Circuit Calculation for Fig 2)
Fig 2(a) में दिए गए सर्किट के लिए, कुल इम्पीडेंस (Total Impedance) Z है:
$$Z = \sqrt{R^2 + (X_C – X_L)^2}$$ $$Z = \sqrt{40^2 + 30^2}$$ $Z = 50\Omega$, यह कैपेसिटिव (Capacitive) है (क्योंकि $X_C > X_L$)।
सर्किट से गुजरने वाला करंट (Current I) इस प्रकार दिया गया है: $$I = \frac{V}{Z} = \frac{100}{50\Omega} = 2 \text{ Amps}$$
⚡ कंपोनेंट्स के पार वोल्टेज ड्रॉप (Voltage Drop Across Components)
इसलिए, कंपोनेंट्स के पार वोल्टेज ड्रॉप (Voltage Drop) निम्नानुसार होगा:
- $V_R$: R के पार वोल्टेज ड्रॉप $= I \cdot R = 2 \times 40 = \mathbf{80 \text{ volts}}$
- $V_L$: L के पार वोल्टेज ड्रॉप $= I \cdot X_L = 2 \times 60 = \mathbf{120 \text{ volts}}$
- $V_C$: C के पार वोल्टेज ड्रॉप $= I \cdot X_C = 2 \times 90 = \mathbf{180 \text{ volts}}$
चूंकि $V_L$ और $V_C$ की पुलैरिटी (Polarity) विपरीत (Opposite) होती है, इसलिए नेट रिएक्टिव वोल्टेज $V_X$ इस प्रकार होगा: $$V_X = 180 – 120 = \mathbf{60V}$$ (जैसा कि Fig 2 में दिखाया गया है)। 🔋
⚠️ ध्यान दें (Note): एप्लाइड वोल्टेज (Applied Voltage), रिएक्टिव कंपोनेंट $X$ और रेजिस्टिव कंपोनेंट के वोल्टेज ड्रॉप्स के योग (sum) के बराबर नहीं होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि वोल्टेज ड्रॉप्स फेज में नहीं होते हैं। लेकिन $V_R$ और $V_X$ का फेजर सम (Phasor Sum) एप्लाइड वोल्टेज के बराबर होगा, जैसा कि नीचे दिया गया है:
$$V_T = \sqrt{V_R^2 + V_X^2}$$
RLC Series Circuit: मुख्य गणना (Calculations) 📊
सबसे पहले, सर्किट के वोल्टेज और फेज एंगल (Phase angle) को समझते हैं:
$$V = \sqrt{V_R^2 + (V_L – V_C)^2}$$ $$V = \sqrt{80^2 + 60^2} = 100 \text{ volts (applied voltage)}$$
सर्किट का Phase angle $\theta$ इस फॉर्मूले द्वारा दिया जाता है: $$\theta = \tan^{-1} \frac{X_C – X_L}{R}$$
RLC Series Circuit में अधिकतम करंट (Maximum Current) की स्थिति 🚀
फॉर्मूले के अनुसार: $$Z = \sqrt{R^2 + (X_C – X_L)^2}$$
यहाँ से यह स्पष्ट है कि सर्किट का कुल Impedance (प्रतिबाधा) Z तब पूरी तरह से Resistive (प्रतिरोधक) हो जाएगा, जब: Reactance $X_L = X_C$ हो।
इस स्थिति में, सर्किट का Impedance $Z$ न केवल purely resistive होगा, बल्कि न्यूनतम (minimum) भी होगा। 📉
चूंकि $L$ (Inductance) और $C$ (Capacitance) का Reactance फ्रीक्वेंसी (frequency) पर निर्भर करता है, इसलिए एक विशेष फ्रीक्वेंसी (जिसे हम $f_r$ कहते हैं) पर, Inductive Reactance ($X_L$), Capacitive Reactance ($X_C$) के बराबर हो जाता है। ऐसी स्थिति में, सर्किट का impedance न्यूनतम और purely resistive होता है, जिससे सर्किट में प्रवाहित होने वाला Current (I) अधिकतम (maximum) हो जाता है। यह करंट, applied voltage को resistance $R$ से भाग देने पर प्राप्त मान के बराबर होता है। ($I = V/R$)
सीरीज रेजोनेंस (Series Resonance) 🔄
ऊपर की चर्चा से यह पता चलता है कि एक Series RLC सर्किट में: Impedance $Z = \sqrt{R^2 + (X_L – X_C)^2}$ Current $I = \frac{V}{Z}$ और, Phase angle $\theta = \tan^{-1} \frac{X_L – X_C}{R}$
यदि इस सीरीज LC सर्किट में दी जाने वाली सिग्नल फ्रीक्वेंसी को $0 \text{ Hz}$ से बढ़ाया जाए, तो जैसे-जैसे फ्रीक्वेंसी बढ़ती है:
- Inductive Reactance ($X_L = 2\pi fL$) रैखिक रूप से (linearly) बढ़ता है।
- Capacitive Reactance ($X_C = 1/2\pi fC$) तेजी से (exponentially) घटता है।
एक विशेष फ्रीक्वेंसी पर, जिसे Resonance Frequency ($f_r$) कहा जाता है, $X_L$ और $X_C$ का योग शून्य हो जाता है ($X_L – X_C = 0$)।
Resonant Frequency पर मुख्य बिंदु: 📝
- Net Reactance (कुल रियेक्टेंस), $X = 0$ (अर्थात, $X_L = X_C$)
- सर्किट का Impedance (प्रतिबाधा) न्यूनतम होता है, purely resistive होता है और $R$ के बराबर होता है।
- सर्किट से प्रवाहित होने वाला Current (I) अधिकतम (maximum) होता है और $V/R$ के बराबर होता है। ⚡
- सर्किट करंट ($I$), applied voltage ($V$) के साथ In-phase होता है (अर्थात, Phase angle $\theta = 0$)।
इस विशेष फ्रीक्वेंसी $f_r$ पर, Series RLC सर्किट को Series Resonance की स्थिति में कहा जाता है।
Resonance Frequency ($f_r$) का फॉर्मूला 🔍
रेजोनेंस उस फ्रीक्वेंसी पर होता है जब: $X_L = X_C$ या $2\pi fL = \frac{1}{2\pi fC}$
इसलिए, Resonance frequency ($f_r$) इस प्रकार दी गई है:
$$f_r = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} \text{ Hz} \quad ….[1]$$
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शिक्षक की सलाह: छात्रों, इस फॉर्मूले ($f_r = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$) को अच्छी तरह याद कर लें, क्योंकि यह परीक्षाओं में बार-बार पूछा जाता है! 💡